Wartość bezwzględna część I

Tematem którym się dzisiaj zajmę to wartość bezwzględna.

Jedno jest pewne. Jakieś zadanie z wartością bezwzględną na pewno będzie na maturze. Na początku wytłumaczę co to w ogóle jest ta wartość bezwzględna. Najprościej mówiąc, wartość bezwzględna to liczba bez znaku minus. Czyli jeśli liczba ma znak plus to wynikiem jest taka sama liczba co pod wartością bezwzględną. Jeśli jednak pod wartością bezwzględną znajduje się znak minus to wynikiem jest liczba przeciwna do niej. Pamiętajcie: wynik z wartości bezwzględnej nie może być liczbą ujemną!!! Poniżej możecie przeczytać kilka przykładów:

I5I=5

I-5I=5 (bo liczbą przeciwną do liczby -5 jest liczba 5)

|√2|=2

Ale uwaga na wartości bezwzględne trochę bardziej złożone

I3-5I=2 (wynik spod wartości bezwzględnej to -2)

A teraz kolejne dwa przykłady:

I√2-1I i I1-√2I

Jeśli macie coś takiego pod wartością bezwzględną to pierwszą rzeczą jaką musicie ustalić to jaki znak ma wyrażenie pod wartością bezwzględną. Jesteście w szkole średniej więc w końcu możecie używać kalkulatora, który może nam co nieco tutaj pomóc. Najpierw sprawdzimy sobie ile to jest √2 . Jest to około 1,4 czyli więcej niż 1. Teraz możemy wykonać odejmowanie. Z pierwszego wyrażenia będziemy mieć liczbę dodatnią, a z drugiego ujemną (bo 1-1,4 jest mniej niż 0). Teraz możemy wyliczyć nasze przykłady.

I√2-1I = √2-1 (pozostaje bez zmian bo wynik pod wartością bezwzględną >0)

I1-√2I = -(1-√2)=-1+ √2 (musieliśmy wyliczyć liczbę przeciwną bo wynik pod wartością bezwzględną <0)

Proste? Myślę że tak. To teraz możemy przejść do prostych równań.

Rozpatrzmy nstp. równanie

IxI=3

Teraz zastanów się jaka liczba po „obcięciu znaku” da Ci 3. Odpowiedź to 3 lub -3.

Rozwiązuje się to tak:

IxI=3

x = 3 v x=-3

To teraz następny, tym raz trochę trudniejszy przykład.

Ix-2I=6

Rozwiązujemy to tak jak poprzedni przykład. Czyli opuszczamy wartość bezwzględną.

x-2=6 v x-2=-6 Teraz wystarczy rozwiązać dwa proste równania. (Oczywiście znak v znaczy lub)

x=8 v x=-4 I to jest już nasz wynik

Rozwiązanie można napisać w nstp. sposób:

Ix-2I=6 x=8 v x=-4 (Taką odpowiedź czytamy tak: Wartość bezwzględna x-2=6 wtedy i tylko wtedy gdy x=8 lub x=-4)

To jeszcze jeden przykład

Ix+8I=2

x+8=2 v x+8=-2

x=-6 v x=-10

Teraz już ostatni przykład. Tylko uwaga!!! Tu jest jeden jedyny wyjątek w liczeniu.

Ix-7I=-1

Z takiego równania nie ma rozwiązania!!! Czyli x∈Ø (należy do zbioru pustego).

Dlaczego? Ponieważ po prawej stronie jest liczba ujemna. Teraz popatrz na początek mojego wpisu na to pogrubione zdanie. Wartość bezwzględna nie może być liczbą ujemną. Dlatego jeśli zobaczycie kiedyś równanie z wartością bezwzględną podobne do powyższego to w ciemno bez liczenia możecie pisać odpowiedź – zbiór pusty.

Tak będzie np. w nstp. przykładach:

Ix-1I=-7, I2x+3I=-2 czy Ix+8I=-100

Nie będzie natomiast w takim przypadku

Ix+2I-8=-3

Dlaczego? Bo przeniesiemy 8 na prawą stronę i mamy teraz równanie postaci:

Ix+2I=5 które liczymy normalnie czyli:

x+2=5 v x+2=-5

x=3 v x=-7

Następnym razem pokażę jak rozwiązuje się nierówności i trudniejsze równania z wartością bezwzględną.